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代写实分析Real anlysis
实分析Real anlysis是基础数学的一个分支，主要研究函数和数列的解析特性。实分析Real anlysis和复分析complex analysis、几何分析geometric analysis、p-adic分析、傅里叶分析fourier analysis、测度论measure theory等领域一样，都属于更广泛的分析学范畴，实分析是一门相对来说比较具体的基础数学学科，其主要的技术工具是不等式。
实分析是数学的一个具体领域，被发展为进行对数列和函数的形式化研究，并研究诸如数列和函数的极限和连续性等重要性质。这些内容是微积分及其应用的基础。实分析已成为许多应用领域不可或缺的工具。特别是，它的许多关键概念，如收敛性、紧凑性和凸性，已成为计量经济学中很多理论的核心。
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实分析的历史
什么是实分析？单看名字，你可能会认为它类似于 大多数人在高中学习的precalculus，只是更……难一点。但是如果你 打开一本关于实分析的书，你会大吃一惊。实分析看起来跟大多数人都知道的precalculus根本不一样。所以为了帮助你理解这个主题，让我们回溯一下实分析的历史。
1800 年，一段时间以来，因为牛顿卓越的发明 《自然哲学的数学原理》使数学的光辉照亮了笼罩在假设与猜想的黑暗中的科学。虽然牛顿的思想在当时没有立即被接受，在它出版一个世纪后，“没人可以否认（从《自然哲学的数学原理》中）诞生了一门新的学科，这门学科（至少在特定方面）远远超越了它之前的一切事物，成为科学规范的最佳典范。这就是实分析的雏形微积分。
但是在Riemann积分的意义下出现了很多不可理解的函数是不可积分的，也出现了一些其他悖论。这让当时很多数学家很难受。于是找到更加完美的积分学成为了当时一部分数学家研究的问题。
在 Lebesgue 之前, 所谓的积分就是 Riemann 积分. 为了对函数 $y=f(x)$ 求稆分, Riemann 对自变量区间 $(a, b)$ 进行分割，进而考虑和式
$$
\sum y_{i}\left(x_{i+1}-x_{i}\right),
$$
其中 $y_{i}$ 为区问 $\left(x_{i}, x_{i+1}\right)$ 上变量 $y \mathrm{~ 所 取 的值 . ~ 如 果 当 分 割 加 细 时 和 式 趋 向于一个极限}$ $\mathrm{}$ 可积的一个必要充分条件. Lebesgue 将该条件用他的测度概念以非常筒单的方式译为: 不连续点集的测度为零.
与 Riemann 不一样, Lebesgue 分割变量 $y$ 的变化区间. 他对分割的每个区间 $\left(y_{j}, y_{j+1}\right)$ 给出满足下列条件的点 $x$ 的測度
$$
y_{j} \leq f(x) \leq y_{j+1}
$$
记该测度为 $m_{2}$, 则积分的一个近似值为
$$
\sum m_{j} y_{j},
$$
㚳果这些和式当分副加细时䞨向于某个极限, 该极限就是 Lebesgue 意义下的积分. 于是, Lebesgue 称该函数是可和的. 在 1901 年的文章里，Lebesgue 仅棥于讨论 $x$ 和 $y$ 的变化区间有限的情况，稍 后 , 他 去掉了这一约束 .1926 年, 在哥本哈根的一次演汫中, Lebesgue 是这样阐述他的观点的.
“按照 Riemann 的方法, 我们对依自变量 $x$ 的大小肐序所拻供的不可分割的量求和，这 有如没有条理的商人数钱, 碰到硬币数硬币, 碰到纸币数纸币. 而我们的做法像有条理的商人 的做法:
我有一克䩗 ${ }^{6}$ 的货币 $m\left(E_{1}\right)$ 个单位, 共值 $1 \cdot m\left(E_{1}\right)$.
我有两克朗的货币 $m\left(E_{2}\right)$ 个单位, 共值 $2 \cdot m\left(E_{2}\right)$.
我有五克朗的货币 $m\left(E_{5}\right)$ 个单位, 共值 $5 \cdot m\left(E_{5}\right)$.
$\cdots \cdots$ 等等. 故, 总共有
$$
S=1 \cdot m\left(E_{1}\right)+2 \cdot m\left(E_{2}\right)+5 \cdot m\left(E_{5}\right)+\cdots “
$$
请注意 Lebesgue 在此例中所用的记号. 他不是简单地写出 $m_{1}, m_{2}, m_{5}$, 而是明确地标出集合 $E_{j}$ 和该集合的惻度 $m\left(E_{j}\right)$. 对于一舧的实值函数(不一定是整函数), 会出现由不等式 $u \leq f(x) \leq 2$ 所定义的集合 $E$, 故有必要明确 $m(E)$ 的意义.
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很多应用学科也涉及很多抽象代数的基本知识，包括但不限于调和分析（Harmonic analysis）、数学物理（Mathematical Physics）、位势理论 (Potential theory) 、偏微分方程 (Partial Differential Equations) 、变分法（Calculus of Variations）等等。
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