线性代数作业代写Linear Algebra代考

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线性代数Linear Algebra也被用于大多数科学和工程engineering领域,因为它可以对许多自然现象进行建模Mathematical model,并对这些模型进行高效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统Nonlinear system,它经常被用来处理一阶first-order approximations近似,利用这样一个事实:一个多变量函数multivariate function在某一点的微分是最接近该点的函数的线性图。

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线性代数Linear Algebra作业代写

线性代数是几乎所有数学领域的核心。例如,线性代数是现代几何学的基础,包括定义基本对象,如线、平面和旋转。另外,函数分析是数学分析的一个分支,可以看作是线性代数在函数空间的应用。

线性代数也被用于大多数科学和工程领域,因为它可以对许多自然现象进行建模,并对这些模型进行有效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统,它经常被用来处理一阶近似,利用这样一个事实:一个多变量函数在某一点的微分是最接近该点的函数的线性图。

列举如下:

向量空间Vector space代写

在现代数学中,通过矢量空间的介绍通常是首选,因为它更具有综合性,更具有一般性(不限于有限维的情况),而且概念上更简单,尽管更抽象。一个场F(通常是实数场)上的矢量空间是一个集合V,它配备了两个满足以下公理的二进制运算。V的元素被称为向量,F的元素被称为标量。第一个运算,向量加法,取任意两个向量v和w,输出第三个向量v+w。第二个运算,标量乘法,取任意标量a和任意向量v,输出一个新的向量av。

线性映射Linear map代写

在数学中,特别是在线性代数中,线性映射(也称为线性映射、线性变换、向量空间同构,或在某些情况下称为线性函数)是两个向量空间之间的映射{\displaystyle V\to W}V\to W,它保留了向量加和标量乘的操作。同样的名称和定义也用于环上模块的更一般的情况

线性子空间Linear subspace代写

在数学中,更具体地说,在线性代数中,线性子空间,也被称为矢量子空间,是某个更大的矢量空间的一个子集的矢量空间。当上下文用于区分线性子空间与其他类型的子空间时,线性子空间通常被简单地称为子空间。

矩阵理论Matrix (mathematics)代写

在数学中,矩阵(复数矩阵)是一个由数字、符号或表达式组成的矩形阵列或表格,以行和列的形式排列,用来表示一个数学对象或这种对象的属性。

特征值和特征向量Eigenvalues and eigenvectors代写

在线性代数中,一个线性变换的特征向量是一个非零向量,当该线性变换应用于它时,它最多只改变一个标量因子。相应的特征值,通常用lambda来表示,是特征向量被缩放的因子。

内积空间Inner product space代写

在数学中,内积空间是一个实数向量空间或复数向量空间,其运算称为内积。空间中两个向量的内积是一个标量,通常用角括号表示,如{{displaystyle \langle a,b\rangle }{\displaystyle \langle a,b\rangle }。内积允许对直观的几何学概念进行正式定义,如长度、角度和向量的正交性(零内积)。内积空间概括了欧几里得向量空间,其中内积是笛卡尔坐标的点积或标量积。无限维的内积空间在函数分析中被广泛使用。复数领域的内积空间有时被称为单元空间。

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线性代数Linear Algebra的历史

解决同步线性方程的程序(使用计数棒)现在被称为高斯消除法,出现在中国古代数学文本的第八章。数学艺术九章》的第八章:矩形阵列。它的使用在十八个问题中得到了说明,其中有两到五个方程。

在欧洲,线性方程组是随着1637年笛卡尔(René Descartes)在几何学中引入坐标而产生的。事实上,在这种新的几何学中,现在被称为笛卡尔几何学,直线和平面由线性方程表示,计算它们的交点就相当于解决线性方程组。

解决线性系统的第一个系统方法是使用行列式,由莱布尼茨在1693年首次考虑。1750年,加布里埃尔-克拉默(Gabriel Cramer)用它们来给出线性系统的显式解,现在称为克拉默规则。后来,高斯进一步描述了消元法,它最初被列为大地测量学的一个进步。

The procedure for solving simultaneous linear equations (using counting rods) is now known as Gaussian elimination and appears in Chapter 8 of the ancient Chinese mathematical texts. Chapter 8 of Nine Chapters on the Art of Mathematics: Rectangular Arrays. Its use is illustrated in eighteen problems, with two to five equations.

In Europe, systems of linear equations arose with the introduction of coordinates into geometry by René Descartes in 1637. Indeed, in this new geometry, now known as Cartesian geometry, lines and planes are represented by linear equations, and calculating their intersection is equivalent to solving a system of linear equations.

The first systematic approach to solving linear systems was the use of determinants, first considered by Leibniz in 1693, and in 1750 Gabriel Cramer used them to give explicit solutions to linear systems, now known as Cramer’s rules. Later, Gauss further described the elimination method, which was originally classified as an advance in geodesy.

线性代数Linear Algebra课后作业代写

If $X$ and $Y$ are vectors in $\mathbb{R}^{3}$, then
$$
|X \cdot Y| \leq|X| \cdot|Y| .
$$
Moreover if $X \neq 0$ and $Y \neq 0$, then
$$
\begin{gathered}
X \cdot Y=|X| \cdot|Y| \Leftrightarrow Y=t X, t>0, \
X \cdot Y=-|X| \cdot|Y| \Leftrightarrow Y=t X, t<0 . \end{gathered} $$ Proof. If $X=0$, then inequality $8.3$ is trivially true. So assume $X \neq 0$. Now if $t$ is any real number, by equation $8.2$, $$ \begin{aligned} 0 \leq|t X-Y|^{2} &=|t X|^{2}-2(t X) \cdot Y+|Y|^{2} \\ &=t^{2}|X|^{2}-2(X \cdot Y) t+|Y|^{2} \\ &=a t^{2}-2 b t+c_{,} \end{aligned} $$ where $a=|X|^{2}>0, b=X \cdot Y, c=|Y|^{2}$.
Hence
$$
\begin{aligned}
a\left(t^{2}-\frac{2 b}{a} t+\frac{c}{a}\right) & \geq 0 \
\left(t-\frac{b}{a}\right)^{2}+\frac{c a-b^{2}}{a^{2}} & \geq 0 .
\end{aligned}
$$
Substituting $t=b / a$ in the last inequality then gives
$$
\frac{a c-b^{2}}{a^{2}} \geq 0
$$
so
$$
|b| \leq \sqrt{a c}=\sqrt{a} \sqrt{c}
$$
and hence inequality $8.3$ follows.
To discuss equality in the Cauchy-Schwarz inequality, assume $X \neq 0$ and $Y \neq 0$.
Then if $X \cdot Y=|X| \cdot|Y|$, wẻ haveẻ for âll $t$
$$
\begin{aligned}
|t X-Y|^{2} &=t^{2}|X|^{2}-2 t X \cdot Y+|Y|^{2} \
&=t^{2}|X|^{2}-2 t|X| \cdot|Y|+|Y|^{2} \
&=|t X-Y|^{2} .
\end{aligned}
$$
Taking $t=|X| /|Y|$ then gives $|t X-Y|^{2}=0$ and hence $t X-Y=0$. Hence $Y=t X$, where $t>0$. The case $X \cdot Y=-|X| \cdot | Y$ is proved similarly.

线性代数Linear Algebra的应用代写

线性代数是一个被普遍认为是深入理解机器学习的前提的数学领域。

虽然线性代数是一个庞大的领域,有许多深奥的理论和发现,但从该领域中提取的核心工具和符号对机器学习从业者来说是很实用的。有了关于线性代数的坚实基础,我们就有可能只关注好的或相关的部分。

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