微分几何代写 Differential Geometry代考2023

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微分几何代写Differential Geometry

微分几何学是一门研究光滑形状和光滑空间的几何学的数学学科,也被称为光滑流形。它使用微分计算、积分计算、线性代数和多线代数的技术。该领域的起源是远在古代的球面几何研究。它还与天文学、地球的大地测量学以及后来洛巴切夫斯基对双曲几何的研究有关。平滑空间最简单的例子是三维欧几里得空间中的平面和空间曲线和曲面,对这些形状的研究构成了18和19世纪现代微分几何发展的基础。

微分几何包含几个不同的主题,列举如下:

黎曼几何学Riemannian geometry代写

黎曼几何是微分几何的一个分支,研究黎曼流形,定义为具有黎曼公制的光滑流形(在每一点的切线空间上的内积,从点到点平滑变化)。这特别给出了角度、曲线长度、表面积和体积的局部概念。从这些概念中,一些其他的全局量可以通过整合局部贡献而得到。

伪黎曼尼几何学Pseudo-Riemannian geometry代写

伪黎曼几何将黎曼几何推广到公转张量不需要是正无限的情况。这种情况的一个特例是洛伦兹流形,它是爱因斯坦广义相对论引力的数学基础。

其他相关科目课程代写:

  • Finsler manifold芬斯勒流形
  • Symplectic geometry辛几何

微分几何的历史

微分几何作为一门学科的历史和发展,至少可以追溯到古代的古典。它与几何学、空间和形状的概念以及拓扑学,特别是流形的研究的发展密切相关。在这一节中,我们主要关注无限小方法在几何学中的应用历史,以及后来的切线空间思想,并最终在张量和张量场方面发展出该学科的现代形式主义。

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The history and development of differential geometry as a discipline can be traced back at least to the ancient classics. It is closely related to the development of geometry, the concepts of space and form, and the study of topology, particularly manifolds. In this section we focus on the history of the application of infinitesimal methods to geometry, and then on the idea of tangent spaces, and finally on the development of the modern formalism of the discipline in terms of tensors and tensor fields.

微分几何相关课后作业代写

问题 1.

Let $c$ be a regular curve such that $|c(s)| \leq 1$ for all $s$. Suppose that there is a point $t$ where $|c(t)|=1$. Prove that the curvature at that point satisfies $|\kappa(t)| \geq 1$.

证明 .

Let $c$ be a regular curve with arc length parameterization $s$. By definition, the curvature $\kappa(s)$ of the curve $c$ at the point $c(s)$ is given by $\kappa(s) = |\boldsymbol{c}”(s)|$, where $\boldsymbol{c}”(s)$ denotes the second derivative of $\boldsymbol{c}(s)$ with respect to $s$.

Since $|\boldsymbol{c}(s)| \leq 1$ for all $s$, we have $|\boldsymbol{c}'(s)| = 1$ for all $s$. Moreover, since $|\boldsymbol{c}(t)| = 1$, we have $|\boldsymbol{c}'(t)| = 0$, which implies that $\boldsymbol{c}”(t)$ is perpendicular to $\boldsymbol{c}'(t)$. Therefore, we have

$\left|\boldsymbol{c}^{\prime \prime}(t)\right|=\left|\boldsymbol{c}^{\prime \prime}(t) \cdot \frac{c^{\prime}(t)}{\left|c^{\prime}(t)\right|}\right|=\left|c^{\prime \prime}(t) \cdot \frac{c^{\prime}(t)}{\left|c^{\prime}(t)\right|}\right|$.

Now, we observe that $\boldsymbol{c}”(t) \cdot \boldsymbol{c}'(t)$ is the tangential component of $\boldsymbol{c}”(t)$ at the point $c(t)$, which is given by $\boldsymbol{c}”(t) \cdot \boldsymbol{c}'(t) = \frac{d}{ds}\left(|\boldsymbol{c}'(s)|^2\right)\bigg|{s=t} = 2|\boldsymbol{c}'(t)|\boldsymbol{c}”(t) \cdot \boldsymbol{c}'(t) = 0$. Thus, we can write $\boldsymbol{c}”(t) = \boldsymbol{c}”(t){\perp} + \boldsymbol{c}”(t){\parallel}$, where $\boldsymbol{c}”(t){\perp}$ is the perpendicular component of $\boldsymbol{c}”(t)$ to $\boldsymbol{c}'(t)$ and $\boldsymbol{c}”(t){\parallel}$ is the tangential component of $\boldsymbol{c}”(t)$ to $\boldsymbol{c}'(t)$. Since $|\boldsymbol{c}'(t)| = 0$, we have $\boldsymbol{c}”(t){\parallel} = 0$. Therefore, we have

$\left|\boldsymbol{c}^{\prime \prime}(t)\right|=\left|\boldsymbol{c}^{\prime \prime}(t){\perp}\right| \leq\left|\boldsymbol{c}^{\prime \prime}(t)\right|{\max }$

where $|\boldsymbol{c}”(t)|_{\max}$ denotes the maximum value of $|\boldsymbol{c}”(t)|$ over all vectors $\boldsymbol{v}$ perpendicular to $\boldsymbol{c}'(t)$ with $|\boldsymbol{v}| = 1$.

On the other hand, we know that the maximum value of $|\boldsymbol{c}”(t)|$ is attained when $\boldsymbol{c}


微分几何课后作业代写的应用代写

微分几何学在整个数学和自然科学领域都有应用。最突出的是,爱因斯坦在他的广义相对论中使用了微分几何的语言,随后物理学家在发展量子场理论和粒子物理学的标准模型时也使用了这种语言。在物理学之外,微分几何在化学、经济学、工程、控制理论、计算机图形和计算机视觉以及最近的机器学习中也有应用。

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